22 ene. 2013

Calculo de Probabilidades a posteriori





Para empezar vamos a plantear el siguiente problema: Imaginemos que estamos en un concurso de televisión donde se nos presentan tres puertas; detrás de una de las puertas está el premio principal, un auto; detrás de las otras dos hay -en cada una- una cabra. No hay ninguna forma de saber cual puerta tiene cual premio; el premio lo recibiremos de acuerdo a la puerta que escojamos.
Así que escogemos una de las tres puertas pero, en vez de abrir la puerta que hemos elegido, el anfitrión abre una de las otras dos puertas. Él sabe donde esta el carro, por lo que siempre va abrir una de las puertas que tenga una cabra, y luego pregunta:

¿Desea continuar escogiendo la puerta inicial o desea cambiar su elección por la puerta que aun esta cerrada?

En resumen, ¿qué es lo mas conveniente?

  1.      Cambiar la puerta
  2.      Quedarse con la puerta elegida inicialmente
  3.      No hay diferencia


¿Cuál de las opciones daría la mayor probabilidad de ganar el auto?
Pensemos la respuesta un momento…






La mayoría de las personas consideran que no hay diferencia entre cambiar de puerta o quedarse con la misma; asumen que si en una puerta esta el auto y en la otra esta la cabra, la probabilidad de acertar en cualquier caso seria del 50%.
Esto parece lógico… Pero no, no es correcto.
Este es un problema de probabilidades y, con frecuencia, en estos casos la verdad es contra-intuitiva.

¿Cuál es la respuesta correcta?

Siempre hay que cambiar de puerta ya que, al hacerlo, tendremos el doble de probabilidades de ganar el auto.
¿Por qué?

La manera más fácil de entenderlo es calcular las probabilidades para cada elección: Cambiar o No cambiar.

Si elijo No Cambiar…
Al principio del concurso hay tres puertas y solo una contiene el auto. La probabilidad de ganarlo es de 1/3 (33%) y, como hay dos cabras, la probabilidad de ganar una cabra es de 2/3 (66%).
Si no cambias de puerta, sin importar cual de las puertas abra el anfitrión, te quedaras con tu primera elección y tu probabilidad de haber elegido el auto es del 33% y la probabilidad de haber elegido una cabra es del 66%. Si no cambias de puerta tendrás un 33% de probabilidades de ganar el auto y un 66% de ganar una cabra.
En el momento en que el anfitrión abre la puerta la decisión ya se tomó con las probabilidades previas; estas no cambiaran pues, independientemente de lo que haga el anfitrión, la selección de la puerta -el suceso- es un evento pasado.

Si elijo Cambiar…
Si por casualidad elegimos el auto la primera vez (33% de probabilidad),  es obvio que si lo cambiamos terminaremos con una cabra. Si eliges primero la puerta con el carro, al cambiar, terminarás con una cabra el 33% de las veces. Pero ¿qué pasa si al principio elegimos una cabra (66% de probabilidad)?.  Esta vez, como solo hay una cabra que el anfitrión puede revelar, abrirá la única otra puerta que tiene detrás una cabra. Es decir, si luego cambiamos la puerta inicial, esta será la que tenga el auto.
De hecho cada vez que elijamos una cabra la primera vez, al cambiar, ganaremos auto y las probabilidades de haber elegido una cabra al principio son del 66%, por lo que si quieres tener más probabilidades de ganarte el auto, definitivamente hay que cambiar de puerta ya que haciéndolo tendremos un 66% de probabilidad de ganar..

Este es un famoso problema conocido como el “Problema de Monty Hall” a propósito de un antiguo concurso televisivo con estas características llamado "Let´s me a Deal", cuyo anfitrión se llamaba Monty Hall.




Pero ¿por qué nos equivocamos?

Porque olvidamos que el calculo de probabilidades solo se hace antes de presentarse el suceso, hacerlo después no tiene sentido o nos lleva al error.

Pongamos otro ejemplo algo más sencillo.
Si yo planeo lanzar una moneda 5 veces y pregunto:
¿Cuál es la probabilidad de que caiga 5 veces cara de forma consecutiva?

CCCCC

La respuesta correcta es 0.031 (3,1%)

Pero si yo no hago ninguna pregunta sobre el resultado de los 5 lanzamientos y vemos que cae 5 veces consecutivas cara, nos equivocamos al sorprendernos con ese resultado calculando la probabilidad. Si yo calculo las probabilidades de un suceso después de sucedido, puedo erróneamente sorprenderme por lo que, al parecer, es improbable: pero no hay tal.
Me explico.
Cualquier combinación aleatoria de 5 lanzamientos sucesivos tendrá la misma probabilidad.

CCXCX (3.1%)
XXXCX (3.1%)
CCXXC (3.1%)
XCXCX (3.1%)
XCCCX (3.1%)

No importa el orden que yo elija, cualquier combinación será poco probable, pero después de 5 lanzamientos necesariamente se va a presentar alguna de estas, solo que entonces no puedo concluir que un evento es “increíble” por ser poco probable. Pero es un error que cometemos con frecuencia.

Otro ejemplo.

Voy a escribir un número al azar:

395839284759372648560948372648

Este número tiene 30 dígitos. Lo escribí oprimiendo las teclas numéricas de forma aleatoria; si después de escribirlo calculo -erróneamente- la probabilidad de escribir esa serie de números, sería algo así como 0,000000000000000000000000000001%. Es extremadamente baja. Entonces ¿puedo concluir que este número es especial?
No, claro que no. Entonces por qué nos sorprendemos (o es noticia) si un día la lotería cae en el 4444 de la serie 44? Precisamente por calcular las probabilidades después de presentado el evento: Una equivocación.

Los que hacen predicciones astrológicas o leen cartas, juegan con este hecho y se aprovechan de este error mental. Si yo hago 20 predicciones antes de iniciar un año o al leer las cartas puedo acertar 5 o 6, en cualquier orden, entre varias opciones. Luego, al acertar esas 6, ignoramos las otras y consideramos increíble que acierte en estas.


Un último ejemplo.

Algún amigo mío toma un taxi en una ciudad grande y tiempo después de bajarse, se da cuenta de que olvidó su móvil en el. Prácticamente lo da por perdido pero minutos después lo recupera gracias a una aparente increíble casualidad. Resulta que la persona que tomó el taxi después de él encontró el móvil y, al revisar la agenda, reconoció al dueño del móvil y logró contactarlo para devolverlo.
Parece increíble pero con algunos cálculos vemos que no tanto. Si asumimos una posibilidad muy baja de ocurrencia de cierto evento como este -digamos que sucede una vez entre 500 o 1000 individuos que olviden el móvil en un taxi- y –supongamos-, en una ciudad grande, 1000 personas olvidan al año su móvil en un taxi ¿Qué pasa entonces?
Necesariamente una o dos personas al año -necesariamente-, recuperaran su móvil, al tener la fortuna de que un conocido tome el mismo taxi luego.
Pasara una o dos veces al año.
Entonces no nos maravillemos al ver calcular las probabilidades después de sucedido un evento o, bueno… tal vez si, pero no tanto.

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