Para empezar vamos a plantear el siguiente problema: Imaginemos que
estamos en un concurso de televisión donde se nos presentan tres puertas;
detrás de una de las puertas está el premio principal, un auto; detrás de las
otras dos hay -en cada una- una cabra. No hay ninguna forma de saber cual
puerta tiene cual premio; el premio lo recibiremos de acuerdo a la puerta que
escojamos.
Así que escogemos una de las tres puertas pero, en vez de abrir la
puerta que hemos elegido, el anfitrión abre una de las otras dos puertas. Él
sabe donde esta el carro, por lo que siempre va abrir una de las puertas que
tenga una cabra, y luego pregunta:
¿Desea continuar escogiendo la puerta inicial o desea cambiar su
elección por la puerta que aun esta cerrada?
En resumen, ¿qué es lo mas conveniente?
- Cambiar la puerta
- Quedarse con la puerta elegida inicialmente
- No hay diferencia
¿Cuál de las opciones daría la mayor probabilidad de ganar el auto?
Pensemos la respuesta un momento…
La mayoría de las personas consideran que no hay diferencia entre
cambiar de puerta o quedarse con la misma; asumen que si en una puerta esta el
auto y en la otra esta la cabra, la probabilidad de acertar en cualquier caso
seria del 50%.
Esto parece lógico… Pero no, no es correcto.
Este es un problema de probabilidades y, con frecuencia, en estos casos
la verdad es contra-intuitiva.
¿Cuál es la respuesta correcta?
Siempre hay que cambiar de puerta ya que, al hacerlo, tendremos el doble de
probabilidades de ganar el auto.
¿Por qué?
La manera más fácil de entenderlo es calcular las probabilidades para
cada elección: Cambiar o No cambiar.
Si elijo No Cambiar…
Al principio del concurso hay tres puertas y solo una contiene el auto.
La probabilidad de ganarlo es de 1/3 (33%) y, como hay dos cabras, la
probabilidad de ganar una cabra es de 2/3 (66%).
Si no cambias de puerta, sin importar cual de las puertas abra el
anfitrión, te quedaras con tu primera elección y tu probabilidad de haber
elegido el auto es del 33% y la probabilidad de haber elegido una cabra es del
66%. Si no cambias de puerta tendrás un
33% de probabilidades de ganar el auto y un 66% de ganar una cabra.
En el momento en que el anfitrión abre la puerta la decisión ya se tomó con las probabilidades previas; estas
no cambiaran pues, independientemente de lo que haga el anfitrión, la selección
de la puerta -el suceso- es un evento pasado.
Si elijo Cambiar…
Si por casualidad elegimos el auto la primera vez (33% de probabilidad),
es obvio que si lo cambiamos terminaremos
con una cabra. Si eliges primero la puerta con el carro, al cambiar, terminarás
con una cabra el 33% de las veces. Pero ¿qué pasa si al principio elegimos una
cabra (66% de probabilidad)?. Esta vez, como solo hay una cabra que el anfitrión puede revelar, abrirá
la única otra puerta que tiene detrás una cabra. Es decir, si luego cambiamos
la puerta inicial, esta será la que tenga el auto.
De hecho cada vez que elijamos una cabra la primera vez, al cambiar,
ganaremos auto y las probabilidades de haber elegido una cabra al principio son
del 66%, por lo que si quieres tener más probabilidades de ganarte el auto,
definitivamente hay que cambiar de puerta ya que haciéndolo tendremos un 66% de
probabilidad de ganar..
Este es un famoso problema conocido como el “Problema de Monty Hall” a propósito
de un antiguo concurso televisivo con estas características llamado "Let´s
me a Deal", cuyo anfitrión se llamaba Monty Hall.
Pero ¿por qué nos equivocamos?
Porque olvidamos que el calculo de probabilidades solo se hace antes de
presentarse el suceso, hacerlo después no tiene sentido o nos lleva al error.
Pongamos otro ejemplo algo más sencillo.
Si yo planeo lanzar una moneda 5 veces y pregunto:
¿Cuál es la probabilidad de que caiga 5 veces cara de forma consecutiva?
CCCCC
La respuesta correcta es 0.031 (3,1%)
Pero si yo no hago ninguna pregunta sobre el resultado de los 5
lanzamientos y vemos que cae 5 veces consecutivas cara, nos equivocamos
al sorprendernos con ese resultado calculando la probabilidad. Si yo
calculo las probabilidades de un suceso después de sucedido, puedo erróneamente
sorprenderme por lo que, al parecer, es improbable: pero no hay tal.
Me explico.
Cualquier combinación aleatoria de 5 lanzamientos sucesivos tendrá la
misma probabilidad.
CCXCX (3.1%)
XXXCX (3.1%)
CCXXC (3.1%)
XCXCX (3.1%)
XCCCX (3.1%)
No importa el orden que yo elija, cualquier
combinación será poco probable, pero después de 5 lanzamientos
necesariamente se va a presentar alguna de estas, solo que entonces no puedo concluir que un evento es
“increíble” por ser poco probable. Pero es un error que cometemos con
frecuencia.
Otro ejemplo.
Voy a escribir un número al azar:
395839284759372648560948372648
Este número tiene 30 dígitos. Lo escribí oprimiendo las teclas numéricas
de forma aleatoria; si después de escribirlo calculo -erróneamente- la probabilidad
de escribir esa serie de números, sería algo así como 0,000000000000000000000000000001%.
Es extremadamente baja. Entonces ¿puedo concluir que este número es especial?
No, claro que no. Entonces por qué nos sorprendemos (o es noticia) si un
día la lotería cae en el 4444 de la serie 44? Precisamente por calcular las
probabilidades después de presentado el evento: Una equivocación.
Los que hacen predicciones astrológicas o leen cartas, juegan con este
hecho y se aprovechan de este error mental. Si yo hago 20 predicciones antes de
iniciar un año o al leer las cartas puedo acertar 5 o 6, en cualquier orden,
entre varias opciones. Luego, al acertar esas 6, ignoramos las otras y
consideramos increíble que acierte en estas.
Un último ejemplo.
Algún amigo mío toma un taxi en una ciudad grande y tiempo después de
bajarse, se da cuenta de que olvidó su móvil en el. Prácticamente lo da por
perdido pero minutos después lo recupera gracias a una aparente increíble
casualidad. Resulta que la persona que tomó el taxi después de él encontró el
móvil y, al revisar la agenda, reconoció al dueño del móvil y logró contactarlo
para devolverlo.
Parece increíble pero con algunos cálculos vemos que no tanto. Si
asumimos una posibilidad muy baja de ocurrencia de cierto evento como este -digamos
que sucede una vez entre 500 o 1000 individuos que olviden el móvil en un taxi-
y –supongamos-, en una ciudad grande, 1000 personas olvidan al año su móvil en
un taxi ¿Qué pasa entonces?
Necesariamente una o dos personas al año -necesariamente-,
recuperaran su móvil, al tener la fortuna de que un conocido tome el mismo taxi
luego.
Pasara una o dos veces al año.
Entonces no nos maravillemos al ver calcular las probabilidades después
de sucedido un evento o, bueno… tal vez si, pero no tanto.
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